Belajar Notasi Sigma beserta Rumusnya, Yuk! | Matematika Kelas 11

Apa yang dimaksud dengan notasi Sigma? Yuk, pelajari selengkapnya tentang notasi Sigma, meliputi pengertian, bentuk umum, sifat-sifat, dan contohnya berikut ini!

—

Pernah nggak sih, waktu kamu lagi belajar matematika, tiba-tiba kamu melihat satu simbol yang bentuknya seperti huruf E kapital? Kira-kira simbol itu namanya apa ya? Lalu, artinya apa? Ada yang bisa jawab?

∑

Nah, simbol matematika yang satu ini namanya Sigma, guys! Di artikel kali ini, kita akan belajar materi notasi Sigma, jadi siap-siap melihat simbol ini dari awal sampai akhir artikel, ya! Semoga nggak eneg duluan :p 

Sebelum masuk lebih jauh ke materi, kita ketahui dulu yuk, pengertian dari notasi Sigma!

Pengertian Notasi Sigma

Notasi Sigma adalah penyingkatan penulisan dari sebuah deret. Jadi, kalau kita punya suatu deret angka, kita bisa memanfaatkan notasi Sigma ini untuk mempersingkat penulisan deret tersebut supaya nggak terlalu panjang. Contohnya kaya gimana tuh, kak? Nah, sebelum masuk ke contoh, kamu harus tahu dulu nih, bentuk umum dari notasi Sigma.

Baca juga: Logika Matematika, Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi & Biimplikasi

Bentuk Umum Notasi Sigma

Bentuk umum notasi Sigma kaya gini, nih:

Cara membaca notasi Sigma di atas yaitu: “Sigma dari i = m sampai n dari u_i”. Artinya, notasi Sigma di atas merupakan penjumlahan semua u_i untuk nilai i dari m sampai n. Eits, ingat ya, simbol ini namanya Sigma, bukan E, jadi jangan dibaca “E” gitu ya, hehe..

Nah, udah tahu bentuk umumnya, sekarang kita masuk ke contoh ya, biar kamu bisa lebih paham.

Contoh Notasi Sigma

Kita belajar dari contoh yang sederhana dulu, ya! Misalnya, kakak punya notasi Sigma seperti di bawah ini:

Maksud dari notasi Sigma di atas adalah jumlahkan semua i dimulai dari i = 3 sampai i = 6. Sehingga, jika notasi tersebut kita jabarkan, maka akan menjadi seperti berikut:

Sudah mulai paham ya, maksud dari notasi Sigma? Kita coba satu contoh lagi, ya!

Maksud dari notasi Sigma di atas adalah jumlahkan semua (i + 1) dimulai dari i = −2 sampai i = 1. Sehingga, jika notasi tersebut kita jabarkan, maka akan menjadi seperti berikut:

“Oke, sudah paham nih, Kak! Tapi, btw, kok hasil perhitungan jumlahnya nggak ditulis juga, Kak?”

Boleh-boleh aja kok, kalau mau ditulis. Tapi, di artikel kali ini, kita akan lebih fokus kepada penjabaran notasi Sigmanya dulu, ya. Jadi, untuk hasil perhitungan jumlahnya nggak perlu dihitung atau ditulis dulu, biar kamu nggak bingung. Okaayy!

Sifat-Sifat Notasi Sigma

Notasi Sigma memiliki beberapa sifat, di antaranya yaitu dapat diubah indeksnya dan dapat diubah penulisan notasinya. Maksudnya kaya gimana, kak? Perhatikan penjelasan berikut, ya!

Baca juga: 4 Metode Pembuktian Matematika

1. Mengubah Indeks Notasi Sigma

Indeks pada notasi Sigma bisa kita ubah sesuai kebutuhan, lho! Jadi, indeksnya nggak wajib menggunakan huruf i. Bisa juga menggunakan huruf lainnya, seperti k, l, atau a. Tapi, saat kita mengubah indeksnya menjadi huruf lain, pastikan indeks dalam kalimat matematikanya diganti juga dengan huruf yang sama, dan huruf yang digunakan untuk mengganti indeks tidak sama dengan huruf yang digunakan untuk menyatakan batas atas pada notasi Sigma tersebut.

Contohnya seperti ini:

Seperti yang tertera pada gambar, huruf i pada indeks, bisa kita ganti menjadi huruf lain, asalkan huruf pada kalimat matematikanya juga diganti dengan huruf yang sama. Nah, pada contoh di atas, kita ganti huruf indeksnya dari huruf i menjadi huruf k.

Lalu, pada notasi Sigma tersebut kan batas atasnya dinyatakan menggunakan huruf n, berarti kalau huruf indeksnya mau diubah, jangan diubah menjadi huruf n juga ya, supaya nggak bertabrakan. 

Kalau sudah diganti hurufnya, terus apa yang terjadi? Apakah nilainya akan berubah?

Jawabannya: nilainya akan tetap sama ya, guys! Nggak berubah. Makanya pada gambar di atas, antara notasi Sigma yang menggunakan huruf i dan notasi Sigma yang menggunakan huruf k, ada tanda sama dengannya, karena nilai dari kedua notasi Sigma tersebut adalah sama. 

Sudah paham ya, sampai sini? Kalau sudah, kita lanjut yuk!

2. Mengubah Notasi Sigma

Selain indeksnya yang diubah, kita juga bisa mengubah bentuk dari notasi Sigma. Ada dua cara mengubah notasi Sigma, yakni dipisahkan menjadi penjumlahan dua atau lebih notasi Sigma dan dipisahkan suku pertama atau terakhirnya. Kita bahas satu per satu, yuk!

a. Dipisahkan menjadi penjumlahan dua atau lebih notasi Sigma

Notasi Sigma dapat dipisah atau dipecah menjadi dua atau lebih notasi Sigma yang dijumlahkan. Contoh:

Coba perhatikan notasi Sigma di atas! Batas bawah dari indeksnya adalah 1, sementara batas atasnya adalah n. Nah, kita bisa pisahkan notasi Sigma ini menjadi dua notasi Sigma yang dijumlahkan. Notasi Sigma pertama, batas bawahnya adalah 1 dan batas atasnya adalah m. Kemudian, notasi Sigma yang kedua, batas bawahnya adalah lanjutan dari batas atas notasi Sigma yang pertama, yaitu m + 1 dan batas atasnya adalah n. Jadi, antara batas atas notasi Sigma yang pertama dengan batas bawah notasi Sigma yang kedua, nilainya harus berurutan, ya.

Kalau dipisahnya jadi 3 atau lebih notasi Sigma gimana kak? Apakah batas atas dan batas bawahnya harus berurutan juga dari notasi Sigma satu ke notasi Sigma lainnya?

Yap! Harus berurutan juga, ya. Karena pada notasi Sigma, semua nilai dari rentang batas bawah dan batas atas kan harus dijumlahkan semua. Jadi, jangan sampai ada nilai yang terlewat.

Selain itu, kalimat matematika pada setiap notasi Sigma juga harus sama, ya. Kayak contoh di atas kan kalimat matematikanya adalah u_i, maka setiap notasi Sigma juga harus memiliki kalimat matematika yang sama, yaitu u_i.

Baca juga: Mempelajari Konsep dan Nilai Suku Banyak (Polinomial)

Biar makin paham, kakak kasih contoh implementasi menggunakan angka, ya! Perhatikan contoh berikut:

Coba perhatikan! Notasi Sigma di ruas kiri bisa dipisah menjadi penjumlahan dari dua notasi Sigma yang berada di ruas kanan. Untuk memahami ini, kita fokus dulu ke notasi Sigma yang di ruas kiri, ya. Kalau kita jabarkan notasi Sigma tersebut, maka akan menjadi seperti ini:

Nah, dari penjabaran panjang tersebut, bisa kita bagi 2 nih, yaitu dari indeks 2 sampai 6 menjadi satu notasi Sigma sendiri, lalu dari indeks 7 sampai 10 menjadi satu notasi Sigma sendiri, seperti berikut:

 Jadi, jika dua notasi Sigma di atas digabungkan, maka akan menjadi seperti berikut:

Sudah paham, ya? Intinya, ketika kamu mau memisah notasi Sigma menjadi penjumlahan dua atau lebih notasi Sigma, ada dua hal yang harus kamu perhatikan, yaitu:

• Batas atas dan batas bawah dari satu notasi Sigma ke notasi Sigma berikutnya harus berurutan
• Kalimat matematika pada setiap notasi Sigma harus sama

Lanjuutt, ke sifat berikutnya~

b. Dipisahkan suku pertama atau terakhir

Notasi Sigma dapat dipisah suku pertama atau terakhirnya. Contoh:

Berbeda dari pemisahan yang tadi, pengubahan bentuk di sini dilakukan dengan memisahkan suku dari suatu notasi Sigma. Untuk contoh di atas, yang dipisah adalah suku terakhirnya, yaitu u_n.

Kita gunakan contoh implementasi menggunakan angka juga ya, biar penjelasannya lebih mudah dipahami! Perhatikan notasi Sigma berikut:

Kita fokus dulu ke notasi Sigma yang di ruas kiri, ya. Kalau kita jabarkan notasi Sigma tersebut, maka akan menjadi seperti ini:

Nah, kalau udah begini, keliatan kan mana suku terakhirnya? Yap, betul! Suku terakhirnya adalah (2n + 3).

Kalau kita take out dulu suku terakhirnya, maka akan menjadi seperti berikut:

Nah, setelah tahu notasi Sigma dari deret tanpa suku terakhirnya, sekarang tinggal kita masukin lagi deh, suku terakhir yang tadi dalam bentuk penjumlahan. Sehingga, akan menjadi seperti berikut:

Okeeii, selesaii! Sekarang biar kamu makin luwes dan sat set sat set sama materi notasi Sigma, kita kerjakan latihan soal, yuk!

Baca juga: Kedudukan Titik dan Garis Lurus terhadap Lingkaran

Contoh Soal Notasi Sigma

Diketahui notasi Sigma sebagai berikut:

Ubahlah bentuk notasi Sigma tersebut berdasarkan:

a. Pemisahan penjumlahan dua notasi Sigma (bebas memecah batas atas dan batas bawah indeksnya)

b. Pemisahan suku terakhirnya 

Penyelesaian:

a. Pemisahan penjumlahan dua notasi Sigma (bebas memecah batas atas dan batas bawah indeksnya)

Karena pada soal kita diharuskan memecahnya menjadi dua notasi Sigma, tapi boleh bebas memecah batas atas dan batas bawah indeksnya, berarti kita tentukan dulu di awal, nih. Misalnya, kita tentukan untuk notasi Sigma pertama kita buat dari indeks −4 sampai −3, lalu selanjutnya dari indeks −2 sampai −1. Kemudian, kita bisa jabarkan dulu notasi Sigmanya, lalu kita pisahkan menjadi dua notasi Sigma dengan batas atas dan batas bawah yang sudah kita tentukan. Sehingga, bisa kita tuliskan seperti ini:

Jadi, hasil pemisahannya adalah 

b. Pemisahan suku terakhirnya

Untuk memisahkan suku terakhirnya, kita bisa jabarkan terlebih dahulu notasi Sigmanya, kemudian buat notasi Sigma dari suku awal hingga suku n − 1, supaya suku terakhirnya terpisah dari notasi Sigmanya. Maka, bisa kita tuliskan seperti ini:

Jadi, hasil pemisahannya adalah 

—

Itu dia materi tentang notasi Sigma, meliputi pengertian, bentuk umum, sifat-sifat, dan contohnya. Gimana, seru kan? Mau belajar lebih jauh tentang notasi Sigma? Yuk, belajar dari video pembahasan di ruangbelajar! Ada kuis dan latihan soalnya juga, lho!