Konsep Limit Fungsi Aljabar dan Sifat-sifatnya | Matematika Kelas 11

Artikel ini membahas tentang konsep limit fungsi aljabar beserta sifat-sifatnya.

—

Hai, buat kamu yang lagi baca ini, kita akan bahas salah satu materi yang asik dan seru banget di SMA kelas 11. Tapi sebelumnya, inget nggak waktu kelas 10, kamu sempat belajar tentang fungsi (biasa ditulis f(x))? Fungsi itu kan punya variabel yang kalo kita substitusi suatu bilangan, dia akan menghasilkan nilai tertentu. Kayak misalnya f(x) = 5x kalau x=2 berarti nilai f(x)=5 x 2=10.

Tapi, ada juga loh nilai fungsi yang nggak valid kalau kita substitusikan nilai tertentu di variabelnya. Misalnya dari pertanyaan ini, untuk x=2 itu nilainya berapa ya?

Kita coba langsung substitusi aja!

wah, hasil yang didapat itu tandanya gak valid ya.

Hmmm… tapi kita coba gambar grafiknya deh. Kita misalkan f(x) dengan sumbu y, menghasilkan grafik garis lurus kayak gini:

Wih, ada yang menarik nih, kalo kita liat dari grafik, ketika x=2 garisnya bolong ya. Supaya keliatan lebih jelas, coba sekarang kalo grafiknya kita perbesar, jadi gimana sih garisnya?

Setelah diperbesar bilangan yang mendekati 2 dari kiri maupun kanan tetap punya garis. Untuk x=2 aja nih garisnya tetap bolong. Seandainya, garis itu nggak bolong, keliatan banget kan ketika x=2, f(x) mendekati nilai 4. Nah, itu semua yang dinamakan limit.

Pengertian Limit Fungsi

Limit itu suatu batas yang menggunakan konsep pendekatan fungsi. Jadi, bisa dibilang limit adalah nilai yang didekati fungsi saat suatu titik mendekati nilai tertentu. Oke, dari kasus di atas tadi, kan ada bilangan yang mendekati 2 dari kiri dan kanan. Makanya, limit itu terdiri dari limit kiri dan limit kanan. Penulisannya juga beda loh, jadi(dibaca: x mendekati 2 dari kiri) dan untuk (bilangan yang mendekati 2 dari kanan). 

Nah, kalo soal fungsi yang awal tadi, hasilnya itu tandanya, hasil yang kamu dapat termasuk bentuk tak tentu. Bentuk tak tentu itu menghasilkan banyak kemungkinan yang nggak bisa ditentukan. Bentuk tak tentu ada

Tapi, setiap bilangan atau nilai x yang mendekati 2 dari kiri dan kanan memperoleh hasil yang valid. Oke, kita juga bisa buktiin pakai metode tabel. Simak, ya!

Hasil f(x) diperoleh dari substitusi beberapa nilai x yang mendekati 2 dari kiri dan kanan. Untuk bilangan-bilangan yang mendekati 2 dari kiri, menghasilkan f(x) = 3,999.. (mendekati angka 4 ya). Dari kondisi itu kita bisa tulis notasinya menjadi

Kemudian, untuk bilangan-bilangan yang mendekati 2 dari kanan, menghasilkan f(x)=4,001.. yang artinya mendekati angka 4 juga ya. Ketika x mendekati 2 dari kanan, notasinya jadi gini ya guys

Sesuai syarat limit, sebuah fungsi punya limit kalau limit kiri dan kanan sama. Nah, karena nilai limit kiri dan kanannya sama, berarti bisa ditarik kesimpulan

Gimana, udah lebih tergambar kan materi limit ini? 

Ohya, nggak kalah penting ni guys, jadi, supaya kamu mudah nentuin nilai limitnya, kamu perlu tau sifat-sifat limit fungsi aljabar ini!

Sifat-sifat limit itu bakalan kepake banget sebagai bekal kamu untuk lanjut memperdalam si limit ini. Jadi, jangan lupa untuk dipahami setiap sifatnya ya. Ohya, hal yang terpenting sih,  kamu harus coba untuk latihan soal. Mau punya banyak latihan soal? Langsung aja cek fitur Bank Soal di aplikasi Ruangguru ya.

Soal limit itu kan bisa bervariasi ya, dan mungkin aja fungsi yang dikasih lebih kompleks dari contoh soal yang tadi. Kebayang kan, gimana ribetnya kalau kita harus bikin satu persatu limit fungsi itu pakai tabel. Nah, kita bisa loh cari tau nilai limit tanpa harus pakai tabel dan input satu-satu nilai x nya. Caranya gimana? Jadi untuk cari nilai limit, ada 3 cara ya. Cara yang paling utama adalah cara substitusi, lalu cara faktorisasi, dan cara perkalian sekawan. Bahas satu per-satu, yuk!

1. Cara Substitusi

Cara substitusi ini adalah metode paling dasar. Biasanya semua soal limit dikerjakan pake cara substitusi dulu. Nah, kalau hasilnya nggak valid alias bentuk tak tentu, baru deh pake cara lain. 

Soal 1:

Tentukan nilai dari

Pembahasan:

Kalau kamu lihat bentuk limitnya, ini mirip dengan sifat limit bagian c, ya! Jadi, bisa kita keluarkan konstanta atau angka 5 nya, kayak gini:Setelah itu, kita bisa ubah bentuknya lagi sesuai sifat limit bagian d.Langsung substitusi nilai x = 3 ke dalam fungsinya, menjadi

Jadi, dapet deh hasil

Cukup mudah kan guys hehehe, sekarang kita lanjut soal kedua ya!

Soal 2:

Nah, kalau soal ini, kita akan mencari limit dari fungsi rasional. Jadi, kita bisa menggunakan sifat limit bagian f, ya.

langsung substitusi x=2 ke dalam fungsi.

Hmm, karena hasilnya bentuk tak tentu, berarti kita harus pake cara yang lain, yaitu cara faktorisasi.

2. Cara Faktorisasi

Cara faktorisasi bisa kita pakai kalau kita dapat hasil yang tak tentu dari cara dasar alias substitusi. Nah berarti skill pemfaktoran kalian waktu SMP dulu, diuji di sini guys hehe. Contohnya, soal ke-2 tadi. 

yang bisa difaktorkan dari fungsi di atas cuma Yaudah deh, langsung kita faktorkan dan didapat (x-2)(x+2).

Langsung dapet deh hasilnya

Terus, kalau ternyata soalnya mengandung akar, itu gimana dong? Nah, kamu bisa pake cara yang ketiga ini!

3. Cara Perkalian Sekawan

Inget baik-baik ya guys, untuk cara perkalian sekawan itu dipakai kalau hasil uji substitusi menghasilkan bentuk tak tentu, dan khusus untuk soal limit yang fungsinya berbentuk akar. Jadi, kamu cukup melakukan perkalian sekawan dari fungsi yang hanya mengandung akar. 

Fungsi bisa dalam bentuk pecahan atau persamaan fungsi biasa. Supaya ngerti, aku kasih contohnya ya! 

dikalikan sekawannya yaitu

dikalikan sekawannya yaitu

dikalikan sekawannya yaitu

Intinya, tidak merubah soal dan bentuk akar, tapi hanya operasi penghubung akar yang diubah. Sekarang liat soal di bawah deh!

Soal 3:

Pertama, kita uji dulu pake cara dasar yaitu substitusi. 

nah karena menghasilkan bentuk tak tentu, langsung kita pakai cara perkalian sekawan. Bentuk akar ada di pembilangnya, jadi sekawan dari adalah  . Maka bisa ditulis,

Wah nggak kerasa udah selesai 3 soal aja nih. Kayak yang udah dibilang dari awal, kalau soal limit fungsi ini selalu eksis dan bisa bermacam-macam. Jadi, wajib banget untuk asah terus pemahaman konsep awalmu dan jangan lupa lanjut latihan soal di ruangbelajar. Inget ya, practice makes perfect, jadi tunggu apalagi? selamat belajar!

Referensi:

Sudianto dkk. 2017. Matematika untuk SMA/MA Kelas 11. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemendikbud.